softmax回归（线性神经网络）(PyTorch)

softmax 回归

通常，机器学习实践者用“分类”这个词来描述两个有微妙差别的问题：1.我们只对样本的“硬性”类别感兴趣，即属于哪个类别；2.我们希望得到“软性”类别，即得到属于每个类别的概率。这两者的界限往往很模糊。其中的一个原因是：即使我们只关心硬类别，我们仍然使用软类别的模型。我们从一个图像分类问题。假设每次输入是一个的灰度图像，我们可以用一个标量来表示每个像素值，每个图相对应四个特征。假设每个图像属于类别“猫”“鸡”和“狗”中的一个。接下来，我们要选择如何表示标签。我们有两个明显的选择：最直接的想法是选择,其中整数分别代表{狗，猫，鸡}。这是在计算机上存储此类信息的有效方法。如果类别间有一些自然顺序，比如我们试图预测{婴儿，儿童，青少年，青年人，中年人，老年人}，那么将这个问题转换为回归问题，并且保留这些格式是有意义的。但是一般的分类问题并不与类别之间的自然顺序有关。幸运的是，统计学家很早以前就发明了一种表示分类数据的简单方法：读热编码(one-hot encoding)。读热编码是一个向量，它的分量和类别一样多。类别对应的分量设置为1，其它所有分量设置为0，在我们的例子中，标签将是一个三维向量，其中(1,0,0)对应于猫，(0,1,0)对应于鸡，(0,0,1)对应于狗：

网络架构

为了估计所有可能类别的条件概率，我们需要一个有多个输出的模型，每个类别对应一个输出。为了解决线性模型的分类问题，我们需要和输出一样多的仿射函数（affine function）。每个输出对应于它自己的仿射函数。在我们的例子中，由于我们有4个特征和3个可能的输出类别，我们将需要12个标量来表示权重（带下标的），3个标量来表示偏置（带下标的）。下面我们为每个输入计算三个未规范化的预测。下面我们为每个输入计算未规范化的预测(logit)：。

我们可以用神经网络图来描述这个计算过程。与线性回归一样，softmax回归也是一个单层神经网络。由于计算每个输出取决于所有输入，所以softmax回归的输出层也是全连接层。

为了更简洁地表达模型，我们仍然使用线性代数符号。通过向量形式表达为，这是一种更适合数学和编写代码的形式，由此，我们已经将所有权重放到一个的矩阵中。对于给定数据样本的特征，我们的输出是由权重和输入特征进行矩阵-向量乘法再加上偏置得到的。

全连接层的参数开销

在深度学习中，全连接层无处不在。然而，全连接层是完全连接的，可能有很多可学习的参数。具体来说，对于任何具有个输入和个输出的全连接层，参数开销为，这个数在在实践中可能高得令人望而却步。幸运的是，将个输入转化为个输出成本可以减少到，其中参数可以由我们灵活指定，以在实际应用中平衡参数节约和模型有效性。

softmax运算

现在我们将优化参数以最大化观测数据的概率。为了得到预测结果，我们将设置一个阈值，如选择具有最大概率的标签。我们希望模型的输出可以视为属于类的概率，然后选择具有最大输出值的类别作为我们的预测。例如，如果和分别为0.1、0.8和0.1，那么我们的预测类别是2，在我们的例子中代表鸡。然而我们能否将未规范化的预测直接视作我们感兴趣的输出呢？答案是否定的。因为将线性层的输出直接视为概率时存在一些问题：一方面，我们没有限制这些输出数字的总和为1。另一方面，根据输入的不同，它们可以为负值。要将输出视为概率，我们必须保证在任何数据上的输出都是非负的且总和为1。此外，我们需要一个训练的目标函数，来激励模型精准地估计概率。例如，在分类器输出0.5的所有样本中，我们希望这些样本是刚好有一半实际上属于预测的类别。这个属性叫做校准(calibration)。

社会科学家邓肯·卢斯于1959年在选择模型(choice model)的理论基础上发明的softmax函数正是这样做的：softmax函数能够将未规范化的预测变换为非负数并且总和为1，同时让模型保持 可导的性质。为了完成这一目标，我们首先对每个未规范化的预测求幂，这样可以确保输出非负。为了确保最终输出的概率值总和为1，我们再让每个求幂后的结果除以它们的总和。如下式：

这里，对于所有的总有。因此，可以视为一个正确的概率分布。softmax运算不会改变为规范化的预测之间的大小次序，只会确定分配给每个类别的概率。因此，在预测过程中，我们仍然可以用下面的公式来选择最有可能的类别。

尽管softmax是一个非线性函数，但softmax回归的输出仍然由输入特征的仿射变换决定。因此，softmax回归是一个线性模型(linear model)。

小批量样本的矢量化

为了提高计算效率并且充分利用GPU，我们通常会对小批量样本的数据执行矢量计算。假设我们读取了一个批量的样本，其中特征维度（输入数量）为，批量大小为。此外，假设我们在输出中有个类别。那么小批量样本的特征为，偏置为。softmax回归的矢量计算表达式为：

相对于一次处理一个样本，小批量样本的矢量化加快了和的矩阵-向量乘法，由于中的每一行，代表一个数据样本，那么softmax运算可以按行(rowwise)执行；对于的每一行，我们先对所有项进行幂运算，然后通过求和对他们进行标准化。的求和会使用广播机制，小批量的未规范化预测和输出概率都是形状为的矩阵。

损失函数

接下来，我们需要一个损失函数来度量预测的效果。我们将使用最大似然估计，这与在线性回归中的方法相同。softmax函数给出了一个向量，我们可以将其视为“对给定任意输入的每个类的条件概率”。例如，，假设整个数据集具有个样本，其中索引的样本由特征向量和标签向量组成。我们可以将估计值和实际值进行比较：

根据最大似然估计，我们最大化，相当于最小化负对数似然：

其中，对于任何标签和模型预测，损失函数为：

以上的损失函数，通常被称为交叉熵损失(cross-entropy loss)。由于是一个长度为的编码向量，所以除了一个之外的所有项都消失了。由于所有都是预测的概率，所以它们的对数永远不会大于0，因此，如果正确地预测实际标签，则损失函数不能进一步最小化。注意，这往往是不可能的。例如，数据集中可能存在标签噪声（比如某些样本可能被误标），或输入特征没有足够的信息来完美地对每一个样本分类。由于softmax和相关的损失函数很常见，因此我们需要更好地理解它的计算方式。利用softmax的定义，我们得到：

考虑相对于任何未规范化的预测的导数，我们得到：

换句话说，导数是我们softmax模型分配的概率与实际发生的情况（由独热标签向量表示）之间的差异。从这个意义上讲，这与我们在回归中看到的非常相似，其中梯度是观测值和估计值之间的差异。这不是巧合，在任何指数族分布模型中，对数似然的梯度正是由此得出的。这使梯度计算在实践中变得容易很多。现在让我们考虑整个结果分布的情况，即观察到的不仅仅是一个结果。对于标签，我们可以使用与以前相同的表示形式。唯一的区别是，我们现在用一个概率向量表示如(0.1,0.2,0.7)，而不是仅包含二元项的向量(0,0,1)。我们定义损失，它是所有标签分布的预期损失值。此损失称为交叉熵损失(cross-entropy loss)，它是分类问题最常用的损失之一。

信息论

信息论(information theory)涉及编码、解码、发送以及尽可能简洁地处理信息或数据。信息论的核心思想是量化数据中的信息内容。在信息论中，该数值被称为分布的熵(entropy)。可以通过以下方程得到：

信息论的基本定理之一指出，为了对从分布随机抽取的数据进行编码，我们至少需要纳特(nat)对其进行编码。“纳特”相当于比特(bit)，但是对数底为而不是2。因此一个纳特是比特。

压缩与预测有什么关系呢？想象一下，我们有一个要压缩的数据流。如果我们很容易预测下一个数据，那么这个数据就很容易压缩。为什么呢？，举一个极端的例子，加入数据流中的每一个数据都相同，这会是一个无聊的数据流，由于它们总是相同的，我们总是知道下一个数据是什么。所以，为了传递数据流的内容，我们不必传输任何信息。也就是说，“下一个数据是xx”这个事件毫无信息量。但是，如果我们不能完全预测每一个事件，那么我们有时可能会感到“惊异”。克劳德·香农决定用信息量来量化这种惊异程度，在观察一个事件，并赋予它概率。当我们赋予一个事件较低的概率时，我们的惊异会更大，该事件的信息量也就更大。如果把熵想象为“知道真实概率的人所经历的惊异程度”，那么什么是交叉熵？交叉熵从到记为。我们可以把交叉熵想象为“主观概率为观察者在看到根据概率生成的数据时的预期惊异”。当时交叉熵达到最低。在这种情况下，从到的交叉熵是。简而言之，我们可以从两方面来考虑交叉熵的分类目标：(i)最大化观测数据的似然；(ii)最小化传达标签所需的惊异。

在训练softmax回归模型后，给出任何样本特征，我们可以预测每个输出类别的概率。通常我们使用预测概率最高的类别作为输出类别。如果预测与实际类别（标签）一致，则预测是正确的。在接下来的实验中，我们将使用精度(accuracy)来评估模型的性能。精度等于正确预测数与预测总数之间的比率。

总结

softmax运算获取一个向量并将其映射为概率。softmax回归适用于分类问题，它使用了softmax运算中输出类别的概率分布。交叉熵是一个衡量两个概率分布之间差异的很好的度量，它测量给定模型编码数据所需的比特数。